En geometría, un punto no tiene dimensión alguna porque no tiene longitud, anchura o profundidad.

Una línea es unidimensional (tiene una sola dimensión) porque sólo tiene longitud.

Figura 7: una línea.

Un plano es bidimensional porque tiene longitud y anchura (largo y ancho).

Figura 8: un plano.

Una caja, o un cubo, es tridimensional porque tiene longitud, anchura y profundidad (largo, ancho y alto, por ejemplo).

Figura 9: un cubo.

Hasta aquí, nos hemos referido al concepto que ordinariamente asociamos a la dimensión (también llamada euclidiana o dimensión topológica). Los fractales, por su parte, tienen dimensiones fraccionarias, cuyos valores, generalmente, sólo se expresan con números no-enteros, tales como 1,7; 0,5326478 ó 3,28. ¿Cómo es eso posible?

Si dividimos por la mitad la medida de la longitud de un objeto unidimensional, obtenemos dos objetos pequeños de idéntica apariencia al objeto original.

Figura 10: división de una línea.

Si dividimos por la mitad la medida de la longitud y la anchura de un objeto bidimensional, obtenemos cuatro copias más pequeñas de dicho objeto.

Figura 11: división de un plano.

Si dividimos por la mitad la medida de la longitud, la anchura y la profundidad de un objeto tridimensional, obtenemos ocho copias a escala del objeto original.

cubo pequeño

Figura 12: división de un cubo.

Observando con detenimiento, nos percatamos de que tenemos lo que podríamos llamar, para nuestro propósito, duplicación geométrica (o crecimiento exponencial), pues la duplicación ocurre a "razón" exponencial de 2, 4, 8 y así sicesivamente. Aritméticamente, estos números pueden expresarse como:

Si examinamos el valor del exponente en cada caso, encontramos que éste es idéntico al valor de la dimensión de cada objeto: 1, 2 y 3.

Ahora, hagamos lo mismo con un objeto fractal. Tomemos como ejemplo el triángulo de Sierpinski. Si dividimos por la mitad la medida de su altura y base, sólamente obtenemos tres copias a escala de dicha figura (recordemos que la sección central-el triángulo invertido-no pertenece al triángulo). Entonces, necesitamos un exponente tal que 2^z = 3.

Figura 13: división de un triángulo de Sierpinski.

El triángulo de Sierpinski no es unidimensional porque 3 es mayor que 2, pero tampoco es bidimensional porque 3 es menor que 4. Así pues, su dimensión debe estar entre esas dos dimensiones (1 y 2). En realidad, es cerca de 1.58496250072115618145373894395.