En concepto de dimensión fractal, o fraccionaria, es algo que nunca existiría y nunca sería comprendida si nos limitásemos al mundo de la geometría elemental. Por el contrario, éste pertenece a otro campo geométrico en el cual, al menos, uno de los postulados de Euclides—aquellos compilados por dicho matemático griego en el siglo cuarto a.C.—no se sostiene, permitiendo que emerjan otras realidades matemáticas. Podemos decir, pues, que hay dos tipos principales de geometría: euclidiana y no-euclidiana. En el primer grupo se encuentran la geometría plana, la geometría sólida, la trigonometría, la geometría descriptiva, la geometría de proyección, la geometría analítica y la geometría diferencial; en el segundo, la geometría hiperbólica, la geometría elíptica y la geometría fractal. (Para una lista más detallada de los tipos de geometría, cliquée aquí).

La palabra "fractal" proviene del latín "fractus", que significa "fragmentado", "fracturado", o simplemente "roto o quebrado", muy apropiado para objetos cuya dimensión es fraccionaria. El término fue acuñado por Benoît Mandelbrot en 1975. Al estudio de los objetos fractales se le conoce, generalemente, como geometría fractal.

Figura 14: un fractal cerca del borde
del conjunto de Mandelbrot.

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Las imágenes de los fractales obtienen sus formas y colores cuando le asignamos un rango determinado de colores a una serie de puntos, dependiendo de su comportamiento matemático mientras se resuelve la función, con la ayuda indispensable de un ordenador (la computadora). En efecto, esa es la única manera de captarlos visualmente. Existen varias posibilidades al momento de asignar los valores que determinarán los colores:

• si el resultado se aproxima a cero (en cuyo caso, pertenece al conjunto),
• si escapa al infinito (y por tal, no pertenece al conjunto),
• si oscila entre varios estados,
• si no exhibe ningún patrón discernible.

En primer caso ocurre dentro de los límites que comprenden la figura fractal; el segundo, fuera de sus límites; y los tercero y cuarto ocurren en la frontera.

Si no fuera por esa asignación artificial de colores, los fractales lucirían como cualquier otra gráfica poco atractiva.

Figura 15: representación sencilla
del conjunto de Mandelbrot.