Los fractales son entidades matemáticas, pero mucho más también. Los primeros ejemplos de este tipo de objeto fueron figuras matemáticas como el polvo de Cantor, la curva de Koch (1904) y el triángulo de Sierpinski. Luego de éstos, que datan de finales de siglo XIX y principios del XX, vinieron los trabajos de Gaston Julia y Pierre Fatou sobre los fractales del conjuto de Julia (1918-19) y, varias décadas más tarde, los estudios de Benoît Mandelbrot y otros matemáticos sobre el conjunto de Mandelbrot, atractores extraños y bifurcaciones, entre otros. No obstante, los fractales están por todas partes. Hay muchos objetos "ordinarios" que, debido a su estructura o comportamiento, son considerados fractales naturales—aunque no los reconozcamos como tales de primera instancia. Las nubes, las montañas, las costas, los árboles y los ríos son fractales naturales; se diferencian de sus contrapartes matemáticos por ser entidades finitas en vez de infinitas. Ejemplos adicionales de fractales son el mercado de valores y el crecimiento poblacional.

Figura 16: Bifurcación.

Los fractales también han cruzado la frontera entre la ciencia y el arte. Hoy en día, muchos artistas que han escogido este medio para sus expresiones producen magníficas representaciones hábilmente elaboradas de estos objetos matemáticas. Los valores (numéricos) que se asignan a los parámetros que definen un fractal también pueden convertirse a notas musicales para generar composiciones intrigantes y refrescantes. Esto último se denomina, generalmente, música fractal.

Cliquée aquí para escuchar una muestra
de música derivada de los fractales.

Recientemente, expertos han postulado que los fractales han estado asociados al arte mucho antes de que se estableciera su evidencia matemática. Por siglos, el ser humano ha utilizado patrones geométricos repetitivos, o recursivos, como elementos decorativos en vacijas, arquitectura, la ilustración de libros y muchas otras manifestaciones artísticas que, de algunas manera, pueden relacionarse con estructuras fractales.

Figuras 17, 18, 19
Ilustración de un libro "iluminado" al estilo Hiberno-Sajón: detalle del Libro de Kell (izquierda); estructura fractal natural: caparazón de un nautilo (centro);
domo gótico de la catedral de Ely, UK (derecha).

Otros estudios han demostrado que muchos estilos musicales siguen la relación 1/f asociada a frecuencias en la naturaleza, como la encontrada en la interferencia de ruido y el flujo de un río (Voss y Clark, 1975).

El conjunto de Mandelbrot fue descubierto por Benoît Mandelbrot en la década de 1970, y nombrado en su honor por Adrien Douady y J. Hubbard en 1982. Su peculiar figura ha sido reproducida en innumerables ocasiones desde que se logró su primera representación visual en 1980.

Figura 19: un colorido conjunto de Mandelbrot.

La función matemática que define al conjunto de Mandelbrot puede expresarse como el conjunto de todos los valores posibles de c (c siendo un número complejo) tal que la iteración de z = z^2 + c (comenzando con z = 0) no va al infinito. La ecuación en sí misma es bien sencilla; la gráfica resultante, infinitamente compleja. Un ordenador (una computadora) es la herramienta más práctica que tenemos para trabajar con este y otros tipos de fractales debido a su capacidad para realizar cómputos con sorprendente rapidez. Si lo intentáramos a mano, no podríamos acabarlo en el curso de toda nuestra vida.

Los conjuntos de Mandelbrot y Julia están estrechamente relacionados. El conjunto de Mandelbrot itera z = z^2 + c comenzando con z = 0 y variando el valor de c. El de Julia, por su parte, itera esa misma función, pero con valores fijos para c y variando los de z. Cada punto c en el conjunto de Mandelbrot especifica la estructura geométrica del conjunto de Julia correspondiente. Si c está en el conjunto de Mandelbrot, entonces el de Julia será conectado (cerrado). De lo contrario, el conjunto de Julia será sólo una colección de puntos desconectados, trazados sobre una gráfica.

Figura 20: transformación Mandelbrot-Julia.